宝くじのナンバーズのせいで夜中に悩まされた。
先日、寝る前に『世の中の真実がわかる「確率」入門』（小林 道正（著）, 講談社ブルーバックス, 2016）を読んだ。
宝くじの「ナンバーズ3」の「ボックス」について、数字の組み合わせは220通りあるとのこと。
「ボックス」とは3つの数字を選んで当たれば賞金がもらえる。
例えば、「123」が当選番号なら、「123」のほかに「132」「213」「231」「312」「321」の計6つの数字が当選番号となる。
「007」「551」みたいに同じ数字を複数選んでもかまわない。
参照【ナンバーズ3】ボックス数字はいくつある！？全通りをご紹介（ナンバーズ予想☆的中！攻略ナビ）
なぜ220通りなのか
本書によると、「0から9までの10個の数から、3つの数字を、順序を問わずに、重複を許して、3つ選び出す方法」は、「重複組み合わせの公式」を用いて
220通り
と紹介していた（本書p. 130）。
なぜ220通りなの？
夜中に1時間ほど悩んだ。
ボックスの組み合わせ計算法
悩んだ結果、ナンバーズ3のボックス数字の組み合わせについて、わたしは次のように計算した。
なお、「000」「111」～「999」のような「同じ数字が3つ」はナンバーズのルールで選べないそうだが、今回の組み合わせ数の計算では「同じ数字が3つ」もOKとする。
まず、数字を3つ選ぶので、枠を3つ用意した。
□ □ □
数字は0～9の10個から選ぶので、10個の数字を分ける仕切り（｜）を9個用意する。
0｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9
この仕切りの中に3つの□を置く。
例えば次のように置いたとする。
□□｜｜｜｜｜｜｜□｜｜
「0」の仕切りの中に2個、「7」の仕切りの中に1個置いたので、これは「007」を表す。
もう一つ例を挙げる。
｜□｜□｜□｜｜｜｜｜｜
この場合、「1」「2」「3」の仕切りの中に1個ずつ置いてあるので、「123」を表す。
以上の例から、「0から9までの10個の数から、3つの数字を、順序を問わずに、重複を許して、3つ選び出す方法」とは、
「”□”と”｜”が12個あるのでこれらを置ける場所が12箇所ある。12箇所の中から□を3つ置く組み合わせ」を求めるのと同じだ。
よって、
12C3 = (12 × 11 × 10)/(3 × 2 × 1) = 220 通り
※別解として「”□”と”｜”を計12個並べる場合を考えて、”□”が3個、”｜”が9個重複しているから、12!/(3! × 9!) = 220 通り」とも計算できる。
まとめ
なぜナンバーズ3のボックス数字が220通りあるのか、疑問が解消したので眠ることができた。
ちなみに、直近（2022年10月10日）の第6057回の当選番号は「139」だ。
参照過去10回号の当せん情報（ナンバーズ3）（PayPay銀行, 閲覧日時：2022.10.11 9:20）
