2019の2乗を17で割った余り

ネットで「2019の2乗を17で割った余りは？」という問題を見つけたので解いてみた。

2019の2乗を計算して17で割っても答えは出るが、かなり面倒くさそう。

「2019 × 2019」なんて筆算したくない。

わたしは次のように2通りのやり方で解いてみた。

①合同式で解く

まずは合同式を使って解いてみた。

2019を17で割った余りを求めると、余りは13だ。

13を17で割った余りも13だから、合同式を用いて記述すると、

2019 ≡ 13 (mod 17)

両辺を2乗する。

2019² ≡ 13² = 169 (mod 17)

169を17で割った余りは16なので、答えは16。

※※

169を17で割るのが面倒なら、「-4を17で割った余りが13」であることを利用する手もある。

-4 = 17 × (-1) + 13 だから、「-4を17で割ったら商は-1で余りは13」といえる。

合同式で表すと、

2019² ≡ (-4)² = 16 (mod 17)

16を17で割った余りは16だから、答えは16となる。

早期退職後にtwitterで「合同式」について学ぶ

SNSがあれば学校に行かなくても数学が学べるいい時代になった。最近は「合同式」の知識を身につけた。「合同式」は中学・高校の数学の範囲外なので学校で習ったことがない。なので、会社を早期退職後にはじめて身につけた数学の知識だ。合同式とは合同式の...

soutai40.com

2021.05.13

②合同式を使わず解く

2019を17で割った余りは13だから、商をaとすると、

2019 = 17a + 13

両辺を2乗すると、

2019² = (17a + 13)²

= (17a)² + (2 × 17a × 13) + 13²

「(17a)² + (2 × 17a × 13) 」は17の倍数だから、13²、つまり169を17で割った余りが求める答えになる。

169を17で割った余りは16なので、答えは16。