3人で巴戦をすると1人が絶対に不利になる

『数学的思考法―説明力を鍛えるヒント』(芳沢光雄著 講談社現代新書 2005)を読んだ。

この本のおかげで2日間ほど悩んだ。

本書では数学の教科書で「確率」と「無限等比級数」を別々に記述していることを批判している。

悩みの種は次の箇所だった。

教科書で「確率」と「無限等比級数」をまったく別個に記述しているが、ここで相撲の巴戦を考えてみよう。実力の同じ3人が巴戦を行うとき、最初に戦う2人が有利になるのだが、これは確率と無限等比級数を融合させると、「3人の実力が等しいとき、最初の2人の勝利確率は5/14であり、もう1人の勝利確率は4/14である」ことが導かれるのである。

※強調は引用者による。

え？そうなの？

最初に対戦した2人の方が2戦目に初戦を迎える者より優勝する確率が高い……なぜ？

3人の実力が同じなら、3人とも優勝する確率は同じじゃないの？

と思ったが、違うようだ。

なぜ「実力の同じ3人が巴戦を行うとき、最初に戦う2人が有利になる」のか、悩んだ。

巴戦の不公平な勝利確率

ここで巴戦の定義をする。

巴戦とは3人のうち最初に2連勝した者が優勝するというシステムだ。

A、B、Cの3名が巴戦を行うとする。

1回戦はA、Bが対戦する。

2回戦は1回戦の勝者とCが対戦する。

ここでもしCが負ければ、1回戦の勝者（AまたはB）が2連勝するので終了。

Cが勝てば3回戦を行う。

3回戦はCと1回戦の敗者が対戦する。

以下、誰かが2連勝するまで行う。

ここで、Cが優勝する確率P_Cを考える。

巴戦で対戦条件が異なるのはA、B、Cの3人のうちCだから、Cの優勝確率がA、Bと異なるという仮定をする。

A、Bが優勝する確率は、AとBの対戦条件が同じだから、Aの勝利確率をP_A、Bの勝利確率をP_Bとすると、

P_A=P_B

Cの勝利確率P_Cがわかれば、AまたはBが優勝する確率は

1-P_C

だから、これを2で割ればP_AとP_Bがわかる。

P_C < P_A = P_B

であれば「巴戦は不公平なシステム」となる。

さあ、これから巴戦の不公平さを見ていくことにする。

数学は苦手なので、小難しい数式を使わずにCが優勝する場合を愚直に数えていきたい。

Cの勝利確率を直感で求める

Cが優勝するケースを次の2種類にわける。

①Cが1敗もせずに2連勝する

②Cが何回か勝ったり負けたりした後に2連勝する

①は、「1回戦でAが勝った後にCが2連勝する」場合と、「1回戦でBが勝った後にCが2連勝する」場合の２通りだ。

「1回戦でAが勝った後にCが2連勝する確率」はAとCの勝利確率はそれぞれ1/2で3回戦うから、

(1/2)×(1/2)×(1/2)=1/8

「1回戦でBが勝った後にCが2連勝する確率」も同様に、1/8となる。

よって、「Cが1敗もせずに2連勝する確率」は、

1/8+1/8=1/4

となる。

（次ページに続く）