3人で巴戦をすると1人が絶対に不利になる

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sumo

前ページからの続き。

次に、Cが何回か負けた後に優勝する場合を考える。

具体的には、1敗した後に2連勝、2敗した後に2連勝、、、n敗したあとに2連勝、というケースがある。

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Cが何回か負けた場合の優勝確率

まず、Cが1敗した後に2連勝する場合を考える。

対戦カードと勝者、敗者はこうなる(1回戦でAが勝つ場合)。

20161126_series1

上記の結果になる確率は、勝利確率1/2で6回戦行うから、

(1/2)6=1/64

1回戦でBが勝ってCが1敗した後にCが2連勝する確率も1/64だから、「Cが1敗した後に2連勝する確率」は、

1/64+1/64=1/32

となる。

※※

次に、Cが2敗した後に2連勝する場合を考える。

対戦カードと勝者、敗者はこうなる(1回戦でAが勝つ場合)。

20161126_series2

6回戦でCが負けて2敗となった後にCが2連勝するには9回戦まで必要だ。

だから、上記の結果になる確率は、

(1/2)9=1/512

1回戦でBが勝つケースも加えると、「Cが2敗した後に2連勝する確率」は、

1/512+1/512=1/256

となる。

Cが優勝する確率は?

以下、Cがn敗して2連勝する確率を求める。

Cが0敗して2連勝する確率=1/4

Cが1敗して2連勝する確率=1/32

Cが2敗して2連勝する確率=1/256

Cが3敗して2連勝する確率=1/2048

……

Cが100万敗して2連勝する確率=???

と言った具合に、無限に続く(医学的には不可能だが、理論的には可能ということで)。

上記の対戦カードを見ると、Cが負けた後に2連勝するにはさらに3回戦必要となる。

Cが1敗するたびに、Cが2連勝する確率が1/8に減っていく。

例を挙げると、

(Cが1敗して2連勝する確率)=1/32=(Cが0敗して2連勝する確率)×(1/8)=(1/4)×(1/8)

(Cが2敗して2連勝する確率)=1/256=(Cが1敗して2連勝する確率)×(1/8)=(1/32)×(1/8)

……

(Cが(n+1)敗して2連勝する確率)=(Cがn敗して2連勝する確率)×(1/8)

と無限に続いていく。

無限に続くものを数えるのは無理なので、数学の公式を使う。

「Cが優勝する確率」は、初項=1/4、公比=1/8の無限等比級数の和となる

よって、Cが優勝する確率PCは、無限等比級数の和の公式より、

Pc

初戦の対戦者が優勝する確率

Cが優勝する確率がわかれば、初戦に対戦したA、Bが優勝する確率もわかる。

Aが優勝する確率PA、Bが優勝する確率PBは同じだから、

Pa&Pb

最初に対戦したA、Bが優勝する確率はともに5/14だ。

一方、Cが優勝する確率は4/14なのでA、Bの優勝確率5/14よりも少ない。

よって、巴戦は最初に対戦した2人が有利、初戦を戦えない者が不利なシステムだということが証明された。

※この巴戦の問題は2016年の東大の入試でも出題されたそうだ。

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