巴戦問題で使った「無限等比級数の和の公式」の証明

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数学

先日の記事、

3人で巴戦をすると1人が絶対に不利になる
『数学的思考法―説明力を鍛えるヒント』(芳沢光雄著 講談社現代新書 2005)を読んだ。この本のおかげで2日間ほど悩んだ。本...

で、巴戦の優勝確率を求めるのに「無限等比級数の和」の公式を使った。

A、B、Cの3名が巴戦を行うとき、初戦の勝者(AまたはB)と2回戦で対戦するCの優勝確率PCを求めるときに使った。

PCは初項=1/4、公比=1/8の無限等比級数の和だから、

Pc

とした。

なぜ、無限等比級数の和は上記のようになるのか。

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公式の証明

Cが0敗して優勝する確率、1敗して優勝する確率、、、n敗して優勝する確率を合計したものをPC(n)とすると、

Pc #1

両辺に公比の1/8を掛けると、

Pc #2

2つの式を引き算すると、

Pc #32

Pc #41

nを無限大にすると(1/8)nは無視できるほど小さくなってゼロとみなせる。

試しに、Google先生で(1/8)1000を計算してみると、

Google検索の計算結果

n=1000にもなると計算結果はゼロになる。1000回以上も負けるとやる気がなくなって優勝する確率もゼロに思えるだろう(笑)。

よって、nが無限大(∞)の場合、(1/8)n=0とみなすと、

Pc

となる。

公比は0超1未満の時に成り立つ

上記の無限等比級数の和は公比が0超1未満の時に成り立つ。

今回の巴戦の場合、公比は1/8だったから「無限等比級数の和」の公式が使えた。

公比が1を超えると和が無限大に膨らんでしまう。

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