【中学入試】○と×を5個ずつ10個並べる問題……小学生に解けるの?

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YouTubeで次のような私立中学の入試問題を見つけた。


これって、高校数学の範囲じゃないの?

こんな問題、小学生に解けるの?

とりあえず、解いてみた。

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○と×を並べる

まずは、問題をながめてみる。

○と×を5個ずつ、10個並べる。
下の条件を満たすのは何通りですか。

条件① 先頭が○である。
条件② ○が3つ以上連続して並ぶ。

先頭が必ず○で、かつ、○が3つ以上連続して並ぶ。

例えば、左を先頭とすると、

○○○○○×××××
○×○○○○××××
○○○×××××○○

みたいに、先頭が○で、○が3つ以上連続、つまり3~5個連続で並ぶ。

先頭の○と5個の×の間に○を入れる

わたしはこのように考えた。

まず、先頭に○、次に×を5個並べる。

○ × × × × ×

上記の記号(○、×)の間(右端の×の右隣も含む)にある6箇所のスペースに、残りの4個の○を置いていく。

次の1~6のスペースに4個の○を置くイメージだ。

○ 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6

4個の○を3個連続するように分けて置くには、

「○○○○」「○○○, ○」「○○, ○○」「○○, ○, ○」

の4つの分け方がある。

○の置き方で場合分けする

(i)「○○○○」
4個の○をひとかたまりで置くとすると、次のような置き方がある。

○ ○○○○ × × × × ×
○ × ○○○○ × × × ×
○ × × ○○○○ × × ×
○ × × × ○○○○ × ×
○ × × × × ○○○○ ×
○ × × × × × ○○○○

よって、6 通り

(ii)「○○○, ○」
4個の○を3個、1個に分ける。

例えば、

○ ○○○ × ○ × × × ×

と並べる。

まず「○○○」を置く場所を6箇所から選び、次に「○」を残りの5箇所から選んで並べる。

よって、6×5=30 通り

(iii)「○○, ○○」
2個の「○○」を並べる。

「○が3つ以上連続」が条件だから、次のように先頭の○に続いて「○○」をひとつ置く必要がある。

○ ○○ × × × × ×

残りの「○○」は「×」の右隣(5箇所)のどこかに置くことになるから、5 通り

(iv)「○○, ○, ○」
(iii)と同様、「○○」は先頭の○に続いて置く必要がある。

残った○を1個ずつ、5箇所のスペースに置く。

つまり、5箇所ある「○を置く場所」から2箇所選ぶから、5C2=10 通り

以上の(i)~(iv)の計算結果をすべて合計すると、

6 + 30 + 5 + 10 = 51 通り

あ~、しんどかった。

こんな問題を受験生である小学生に解かせるとは、西大和学園中はよほどの難関校なんだろうな。

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