「仕入れ値が10%上がったために利益を変えないように売値を上げる」という数学の問題

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セミリタイア生活で「ヒマ」を感じたら算数・数学の問題に悩むに限る?

先日、『あなたにも解ける東大数学 発想と思考のトレーニング』(田中 保成(著), PHP新書, 2008)を読んだ。

「本書を読んだら東大の入試問題(数学)を解けるようになる?」というスケベ心を抱きつつ読んだ。

東大数学以前に、本書に載っていた次の問題につまづいた。

[問題]

ある商品の仕入れ値が10%値上がりしたために、利益を変えないように売値を8%値上げした。利益は元の売値の何%になるか。

出典本書 p. 70

本書によると、よくできる受験生は20秒以内に正答できるとのこと。

わたしはもちろん20秒ではできなかった(笑)。

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問題を眺める

例えば、100円で仕入れている商品が10%値上がりして110円になった(100 × 1.1 = 110)とする。

150円で売っていたとすると、売値を8%値上げすると162円となる(150 × 1.08 = 162)。

この場合、値上げ前の利益は150 円 – 100 円 = 50 円、値上げ後の利益は、162 円 – 110 円 = 52 円で異なるので正解ではない。

売値の値上げ前と値上げ後の利益がイコールになる必要がある。

わたしの解答例

元の仕入れ値をx(円)、売値をy(円)とすると、元の利益は、y – x (円)となる。

値上げ後の仕入れ値は1.1x(円)、値上げ後の売値は1.08y(円)なので、値上げ後の利益は、 1.08y – 1.1x(円)となる。

値上げ前と値上げ後の利益は同じなので、

$$y-x=1.08y-1.1x\\
-x+1.1x=1.08y-y\\
0.1x=0.08y\\
x=0.8y$$

元の仕入れ値(x)は元の売値(y)の0.8倍(80%)となる。

元の売値のうち、仕入れ値が80%なので利益は20%となり、

答えは20%となる。

という作業を20秒ではできなかった(笑)。

おかげで知的(?)なヒマつぶしができたし、こうやってブログの記事(ネタ)にもできた。

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