2019年の夏のセミリタイア生活は数学（と算数）にハマりそう。
先日紹介した算数本『難関入試 算数速攻術』（中川 塁（著）, 松島 りつこ（画）, 講談社ブルーバックス, 2013）に載っていた中学の入試問題に、こんなのがあった。
1から200までの整数をすべてかけ合わせたときの答えは、一の位から連続して0がいくつ並びますか。
（洗足学園中）
出典本書 p. 17
「1×2×3×……×199×200」の答えの中に、一の位からゼロは何個並ぶねん、という問題だ。
例えば、1から10の整数をすべてかけ合わせると、
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=10!=3628800
なので、一の位から0は連続して2個並ぶ。
どんなときに0が並ぶか
では、どんなときに一の位から0が並ぶのか。
それは、「2」と「5」をかけたときだ。
「2×5（=10）」のかけ算が何個あるかを数える。
1から10の整数をすべてかけたとき、次のように「2」と「5」をそれぞれ2回かけている
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10
（10（=2×5）なので、10の中に2と5が1個ずつ入っている）
よって、一の位から0が2個並ぶ。
問題を解く
1から200までの整数をすべてかけ合わせたときの答えに、「2×5」のかけ算は何個あるか。
1から200までのかけ算の答えを素因数分解すると、2の個数より5の個数が少ないので、5の個数を調べればいい。
200÷5=40……①
200÷25=8……②
200÷125≒1……③
①は5を1個以上持っている数（5の倍数）を数えている。
②は5を2個持っている数（25の倍数）を数えている。
③は5を3個持っている数（125の倍数）を数えている。
5の個数を数えて図示するとこうなる。
よって、答えは、
40+8+1=49（個）
補足
ちなみに、1から200までのかけ算（200!）の答えは、
7886578673647905035523632139321850622951359776871732632947425332
4435944996340334292030428401198462390417721213891963883025764279
0242637105061926624952829931113462857270763317237396988943922445
6214516642402540332918641312274282948532775242424075739032403212
5740557956866022603190417032406235170085879617892222278962370389
7374720000000000000000000000000000000000000000000000000
参照200! (Wolfram Alpha)
たしかに、一の位から0が49個並んでいる（笑）。
