1から200までの整数をすべてかけた答えにつくゼロの数を数えるセミリタイア生活

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算数

2019年の夏のセミリタイア生活は数学(と算数)にハマりそう。

先日紹介した算数本『難関入試 算数速攻術』(中川 塁(著), 松島 りつこ(画),講談社ブルーバックス, 2013)に載っていた中学の入試問題に、こんなのがあった。

1から200までの整数をすべてかけ合わせたときの答えは、一の位から連続して0がいくつ並びますか。

(洗足学園中)

出典本書 p. 17

「1×2×3×……×199×200」の答えの中に、一の位からゼロは何個並ぶねん、という問題だ。

例えば、1から10の整数をすべてかけ合わせると、

1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=10!=3628800

なので、一の位から0は連続して2個並ぶ。

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どんなときに0が並ぶか

では、どんなときに一の位から0が並ぶのか。

それは、「2」と「5」をかけたときだ。

「2×5(=10)」のかけ算が何個あるかを数える。

1から10の整数をすべてかけたとき、次のように「2」と「5」をそれぞれ2回かけている

2×3×4×5×6×7×8×9×10

(10(=2×5)なので、10の中に2と5が1個ずつ入っている)

よって、一の位から0が2個並ぶ。

問題を解く

1から200までの整数をすべてかけ合わせたときの答えに、「2×5」のかけ算は何個あるか。

1から200までのかけ算の答えを素因数分解すると、2の個数より5の個数が少ないので、5の個数を調べればいい。

200÷5=40……①

200÷25=8……②

200÷125≒1……③

①は5を1個以上持っている数(5の倍数)を数えている。

②は5を2個持っている数(25の倍数)を数えている。

③は5を3個持っている数(125の倍数)を数えている。

5の個数を数えて図示するとこうなる。

図1

よって、答えは、

40+8+1=49(個)

補足

ちなみに、1から200までのかけ算(200!)の答えは、

7886578673647905035523632139321850622951359776871732632947425332
4435944996340334292030428401198462390417721213891963883025764279
0242637105061926624952829931113462857270763317237396988943922445
6214516642402540332918641312274282948532775242424075739032403212
5740557956866022603190417032406235170085879617892222278962370389
7374720000000000000000000000000000000000000000000000000

参照200! (Wolfram Alpha)

たしかに、一の位から0が49個並んでいる(笑)。

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