早期退職後にtwitterで「合同式」について学ぶ

SNSがあれば学校に行かなくても数学が学べるいい時代になった。

最近は「合同式」の知識を身につけた。

「合同式」は中学・高校の数学の範囲外なので学校で習ったことがない。

なので、会社を早期退職後にはじめて身につけた数学の知識だ。

合同式とは

合同式の説明は簡単だ。

15も8も、7で割れば余りはともに1で同じだ。

このとき合同式を用いて、

15 ≡ 8 (mod 7)

と、横線が3本ある記号「≡」で表す。

この式は「15合同8モッド7」と読む）。

次のツイートでは合同式「15 ≡ 8 (mod 7)」を「15 = 1 × 7 + 8」だと説明していた。

合同式ってただ「a=km+bと表される」ことを「a≡b (mod m)」と書くという単なる表記に過ぎなくて、関数で「x=1のときy=2」を「f(1)=2」と書くのとほとんど同じで、だから合同式に慣れていなければ、慣れた表記に直せばそれで理解できるんだけどね。

— AKITO🍤 (@Akito_ut) June 17, 2019

なるほど。

合同式の使い道

合同式の知識を身につけて、何か使い道があるのか？

ある。

例えば、巨大な数字の割り算の余りを求めるときだ。

twitterでこんな問題を見つけた。

これの合同式（mod）の解き方を教えてくれるお優しい方募集中です pic.twitter.com/RtYVNG3cCZ

— 翠川からあげ🀇🀇🀇🀈🀉🀊🀋🀌🀍🀎🀏🀏🀏 (@Karaage_midori) November 29, 2019

「2¹⁰⁰を7で割った余りは？」という問題だ。

2¹⁰⁰は超巨大な数字で、電卓でも計算不可能だ。

が、余りを求めるだけなら「合同式」を使えば簡単だ。

2¹⁰⁰ = 2 × (2³)³³ = 2 × 8³³

と変形する。

8を7で割った余りは1で、1を7で割った余りも1なので「合同式」で表すと、

8 ≡ 1 (mod 7)

だ。

合同式の性質を利用

合同式の左辺と右辺は、次のように何乗しても成り立つ。

8³³ ≡ 1³³ (mod 7)

参照合同式(mod)の意味とよく使う６つの性質（高校数学の美しい物語）

「8³³ ≡ 1³³ (mod 7)」とは、「8³³を7で割った余り」と「1³³を7で割った余り」は同じという意味だ。

1³³は1なので、1³³を7で割った余りは1。

つまり、8³³を7で割った余りも1だ。

2¹⁰⁰ = 2 × 8³³

なので、2¹⁰⁰つまり2 × 8³³を7で割ったら余りは2となる。

なぜ余りが2となるか

8³³を7で割ったら余りは1なので、

8³³ = 7k + 1 （kは正の整数）とすると、

2¹⁰⁰ = 2 × 8³³ = 2(7k + 1) = 14k + 2 なので、

14k + 2を7で割ったら商は2kで余りは2となる。

※twitterの他にもYouTubeに合同式を解説した動画がたくさんあるので参照してほしい。