【数学FIRE】m^4+14m^2が2m+1の整数倍となるm

最近のセミリタイア生活（FIRE生活？）では、かなり数学にのめりこむようになってきた。

「m⁴+14m²が2m+1の整数倍となるような整数mをすべて求めよ。」

という2013年度の千葉大学医学部の入試問題があったので解いてみた。

合同式を使ってみた。

答案

mod 2m+1で考える。

m⁴+14m²が2m+1の整数倍だとすると、

m⁴+14m² ≡ 0 …①

2m+1は2m+1で割ると割り切れるので、

2m+1 ≡ 0

2m ≡ -1 …②

①のm⁴を2mの何とか乗に変形したいので、①の両辺を16倍する。

16m⁴ + 16 × 14m² ≡ 0

(2m)⁴ + 16 × 14m² ≡ 0

(-1)⁴ + 16 × 14m² ≡ 0

1 + 16 × 14m² ≡ 0

1 + 56 × 4m² ≡ 0

②の両辺を2乗すると、

4m² ≡ 1 より、

1 + 56 × 4m²

= 1 + 56

= 57 ≡ 0

整数mを求める

57 ≡ 0 (mod 2m+1)

ということは、57は2m+1で割り切れる。

2m+1は57の約数だ。

57を因数分解すると、

57 = 3 × 19

mは整数でマイナスもあるから、

57 = (-3) × (-19)

もある（整数はマイナスもあることに注意）。

よって、57の約数は±1, ±3, ±19, ±57の8個だから、

2m + 1 = ±1, ±3, ±19, ±57

この方程式を解くと、求める整数mは、

m = 0, -1, 1, -2, 9, -10, 28, -29

となる。