記事タイトルの問題を見つけたので解いてみた。
本問はTaoさんのセミリタイアブログ「Worlds end ～セミリタイアな日々～」の記事、
で紹介されていた。
問題集『高校入試 5科の完全復習:15日で一気に合格する』（受験研究社, 2021）に掲載されていたとのこと。
最近はネットで数学の問題を見つけると解きたくなるので、解いてみた。
問題文を読む
おそらく、問題は次のとおりだ。
「√(25-n)+2√n」が整数となる条件は次の2つ。
- √(25-n)が整数
- √nが整数
つまり、「√(25-n)」と「√n」の平方根が外れる。
平方根をはずすには、平方根の中の数字が「なんとかの2乗」、つまり「平方数」になっていなければならない。
たとえば、1, 4, 9, 16みたいな数だ。
自然数nをすべて求める
上記を満たす自然数nは、
「25-n」と「n」がともに平方数、かつ 0 ＜ n ≦ 25 だ。
nが25を超えると、25-n がマイナスとなり、√(25-n)が整数ではなくなるからだ（複素数となってしまう）。
なので、nの候補は、
n = 1, 4, 9, 16, 25
となる。
答えを絞り込む
次に、「25-n」が平方数になるnを上記の候補（n=1, 4, 9, 16, 25）から探す。
n = 1 のとき、 25 – n = 25 – 1 = 24 となり平方数ではないから、ダメ。
n = 4 のとき、 25 – n = 25 – 4 = 21 も平方数でないから、ダメ。
n = 9 のとき、 25 – n = 25 – 9 = 16 で平方数だからOK。
n = 16 のとき、 25 – n = 25 – 16 = 9 も平方数となるのでOK。
n = 25 のとき、 25 – n = 25 – 25 = 0 で、「0=02」だから平方数となるのでOK。
よって、答えは、n = 9, 16, 25
の3つだ。
……というのがわたしの答案です。
正答例は問題集を参照してください。
