√(25-n)+2√nが整数となる自然数nの値をすべて求めなさい

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数式

記事タイトルの問題を見つけたので解いてみた。

本問はTaoさんのセミリタイアブログ「Worlds end ~セミリタイアな日々~」の記事、

中学生以下の学力にがくぜんとするセミリタ中年(52歳)

で紹介されていた。

問題集『高校入試 5科の完全復習:15日で一気に合格する』(受験研究社, 2021)に掲載されていたとのこと。

最近はネットで数学の問題を見つけると解きたくなるので、解いてみた。

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問題文を読む

おそらく、問題は次のとおりだ。

問題

「√(25-n)+2√n」が整数となる条件は次の2つ。

  • √(25-n)が整数
  • √nが整数

つまり、「√(25-n)」と「√n」の平方根が外れる。

平方根をはずすには、平方根の中の数字が「なんとかの2乗」、つまり「平方数」になっていなければならない。

たとえば、1, 4, 9, 16みたいな数だ。

自然数nをすべて求める

上記を満たす自然数nは、

「25-n」と「n」がともに平方数、かつ 0 < n ≦ 25 だ。

nが25を超えると、25-n がマイナスとなり、√(25-n)が整数ではなくなるからだ(複素数となってしまう)。

なので、nの候補は、

n = 1, 4, 9, 16, 25

となる。

答えを絞り込む

次に、「25-n」が平方数になるnを上記の候補(n=1, 4, 9, 16, 25)から探す。

n = 1 のとき、 25 – n = 25 – 1 = 24 となり平方数ではないから、ダメ。

n = 4 のとき、 25 – n = 25 – 4 = 21 も平方数でないから、ダメ。

n = 9 のとき、 25 – n = 25 – 9 = 16 で平方数だからOK。

n = 16 のとき、 25 – n = 25 – 16 = 9 も平方数となるのでOK。

n = 25 のとき、 25 – n = 25 – 25 = 0 で、「0=02」だから平方数となるのでOK。

よって、答えは、n = 9, 16, 25

の3つだ。

……というのがわたしの答案です。

正答例は問題集を参照してください。

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