YouTubeで次のような公務員試験対策の問題を見つけた。
4で割ると1余り、6で割ると5余る自然数を小さい方から数えた時、5番目の数字を答えなさい。
動画では「気合と根性で書き出す必要あり！」と解説していた。
わたしは合同式で解いてみた。
答案
4で割ると1余り、6で割ると5余る自然数をnとする。
合同式で表すと、
n ≡ 1 (mod 4) …①
n ≡ 5 (mod 6) …②
4,6の最小公倍数は12なので、mod 12 で考える。
①×3より、
3n ≡ 3 (mod 12) …③
②×2より、
2n ≡ 10 (mod 12) …④
③-④より、
n ≡ -7 ≡ 5 (mod 12)
よって、
n = 12k + 5 (k:整数） …⑤
と表せる。
5番目の数字
nは自然数なので、⑤にk=0,1,2,3, … と代入していくと、
k = 0 のとき、 n = 5
k = 1 のとき、 n = 17
k = 2 のとき、 n = 29
k = 3 のとき、 n = 41
k = 4 のとき、 n = 53
よって、小さい方から数えて5番目の数字は53だ。
最後に、検算してみると、
53 ÷ 4 = 13…1
53 ÷ 6 = 8…5
となり、53は4で割って余り1、6で割って余り5、となることが確認できた。
