定期預金の複利計算で「雪だるま式にも上限がある」ことがわかってびっくり

「複利」といえば「どんどん利息がふくらんで無限に増えていく」というイメージがあった。

例えば、元本100万円を「年利7%の1年もの定期預金」で複利で50年運用すると、

100 万円 × 1.07⁵⁰ ≒ 2,945 万円

となり、約30倍に膨らむ。

が、定期預金の期間を1年、6ヶ月、3ヶ月、1ヶ月と、どんどん短くしていくと、定期預金の増え方が「頭打ち」になるのだ。

「愛情の変化」は微分方程式で理解できる（2019.4.16 プレジデントオンライン）

という記事を読んで知った。

不思議な現象だ。

定期預金の満期までの期間を「1分」にしたら

元本100万円を、「年利7%・1年もの定期預金（複利）」に10年間預けることを考える。

10年後の預金額は、

100 万円 × 1.07¹⁰ ≒ 196 万円

となる。

「年利7%・1ヶ月もの定期預金」だと、

100 万円 × ((1 + 0.07/12)¹²)¹⁰ ≒ 200 万円

だ。

さらに満期までの期間を短くして「1日もの定期預金」にしたら、「1 年 = 365 日」とすると、

100 万円 × ((1 + 0.07/365)³⁶⁵)¹⁰ ≒ 201.36 万円

さらに短くして「1分もの定期預金」にしたら、「1 年 = 365日 × 24 時間/日 × 60 分/時間 = 525,600 分」とすると、

100 万円 × ((1 + 0.07/525600)⁵²⁵⁶⁰⁰)¹⁰ ≒ 201.37 万円

となる。

年利7%で満期までの期間が「1分」の定期預金を複利で10年間預けると、元本100万円は約201.37万円になる。

満期までの期間を1日から1分に短縮して複利で回しても、満期時の預金は100円ほどしか増えない。

さらにどんどん定期預金の期間を短くして「無限小」にしたらどうなるか。

そして定期預金は頭打ちへ

定期預金の期間を無限に小さくするとどうなるか。

上記記事によると、

100 万円 × (e^0.07)¹⁰ = 201万3,752円

となる。

定期預金の期間を極限まで短くしたら、元本100万円の運用結果の上限は約201万3,752円となる。

参考までに、Googleで計算した結果を掲載する。

ここで、いきなり「ネイピア数（e）」、またの名を「自然対数の底」という数字（e = 2.71828…）が出てきた。

なぜ「e」が出てくるのか、記事には説明がなくわからなかったので調べてみた。

定期預金とネイピア数

ネイピア数（e）の定義は、

\begin{aligned}\left( 1+\frac {1}{x}\right) ^{x}\end{aligned}

において、xを限りなく大きくしていったときの数だ。

つまり、xがどんどん膨らんでいくと、上の式の数字は限りなくe(=2.71828…)に近づいていく。

高校数学で習ったと記憶している数式で書くと、

\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \infty }\left( 1+\dfrac {1}{x}\right) ^{x}=e\end{aligned}

となる。

年利7％の定期預金の満期までの期間を無限小（xを無限大）にすると、

\begin{aligned} 1年後の満期時の金額 = \lim _{x\rightarrow \infty }\left( 1+\frac {0.07}{x}\right) ^{x}\end{aligned}

y = x/0.07とすると、

\begin{aligned}\lim _{y\rightarrow \infty }\left( 1+\frac {1}{y}\right) ^{0.07y}=\lim _{y\rightarrow \infty }\left\{ \left( 1+\frac {1}{y}\right) ^{y}\right\} ^{0.07}=e^{0.07}\end{aligned}

となるので、この定期預金に元本100万円を10年間預けた場合、10年後の金額は、

100 万円 × (e^0.07)¹⁰ = 201万3,752円

となる。

（数式が多くてすみません）

参考文献『ビジネス数学入門〈第2版〉』（芳沢光雄（著）, 日経文庫, 2018）pp. 113 – 114