2019年の夏は毎日暑いから「二次方程式の解の公式」について考える

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数式

2019年の夏は毎日暑い日が続く。

そんな暑いある日、ふと、こんな疑問が浮かんだ。

中学で習ったと記憶している「二次方程式の解の公式」に関する疑問だ。

二次方程式

\begin{aligned}ax^{2}+bx+c=0\end{aligned}

の解は、解の公式より

\begin{aligned}x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}\end{aligned}

となるが、なんでこうなるのか、知りたくなった。

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二次方程式を解く

二次方程式を「解の公式」を使わずに解いてみる。

\begin{aligned}ax^{2}+bx+c=0\\ x^{2}+\frac {b}{a}x+\frac {c}{a}=0\\ \left( x+\frac {b}{2a}\right) ^{2}-\frac {b^{2}}{4a^{2}}+\frac {c}{a}=0\end{aligned}

方程式を解く目的は「x」が何かを解明することだから「x = なんちゃら」という形に持って行けるように式を変形している。

さらにxに迫っていく

さらに式を変形していく。

\begin{aligned}\left( x+\frac {b}{2a}\right) ^{2}=\frac {b^{2}}{4a^{2}}-\frac {c}{a}\\ \left( x+\frac {b}{2a}\right) ^{2}=\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}\\ x+\frac {b}{2a}=\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=\pm \frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}\end{aligned}

よって、

\begin{aligned}x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}\end{aligned}

となって、「解の公式」と同じになった。

▼参考動画(YouTube)

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