2022年度の大学入学共通テスト「数学Ⅰ・数学A」の第1問の[1]を解いてみた。
参照共通テスト2022 数学ⅠA問題（朝日新聞デジタル）
基本的な「数と式」の問題だ。
(1)(2)の2問ある。
計算が面倒なので「計算間違い」に注意が必要。
わたしの答案は次のとおり。
問題(1)の答案
問題(1)は実数a, b, cについて、次のような式①②が与えられている。
a + b + c = 1 …… ①
a2 + b2 + c2 = 13 …… ②
まず「ab + bc + ca」を求める。
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
①②より、
12 = 13 + 2(ab + bc + ca)
ab + bc + ca = (1 – 13)/2 = -12/2 = -6 [アイ]
次に、「(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2」を求める。
(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2
= 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca)
= 2 × 13 – 2 × (-6)
= 26 + 12
= 38 [ウエ]
(2)の答案
a – b = 2√5 の場合に、(a – b)(b – c)(c – a)を求める。
b – c = x, c – a = y とおくと、
x + y = (b – c) + (c – a) = b – a = -(a – b) = -2√5 [オカ]
(1)の計算結果より、(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 38 だから、
(2√5)2 + x2 + y2 = 38
x2 + y2 = 38 – (2√5)2 = 38 – 20 = 18 [キク]
a – b = 2√5, b – c = x, c – a = y だから、
(a – b)(b – c)(c – a) = 2√5xy
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy より、
18 = (-2√5)2 – 2xy
18 = 20 – 2xy
-2 = -2xy
xy = 1
よって、
(a – b)(b – c)(c – a) = 2√5xy = 2√5 × 1 = 2√5 [ケ]
2022年度の「数学Ⅰ・数学A」は難問？
今回（2022年度）の大学入学共通テストの「数学Ⅰ・数学A」は難しかったという声があるそうだ。
2022年共通テスト数学1A作問者を許さない
— よーなし🍐 (@yo_u_na_shi_) January 16, 2022
受験生の皆さま、試験おつかれさまでした。
