大学入学共通テスト2022「数学Ⅰ・A」を解いてみた

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2022年度の大学入学共通テスト「数学Ⅰ・数学A」の第1問の[1]を解いてみた。

参照共通テスト2022 数学ⅠA問題|共通テスト解答速報2022(予備校の東進)

基本的な「数と式」の問題だ。

(1)(2)の2問ある。

計算が面倒なので「計算間違い」に注意が必要。

わたしの答案は次のとおり。

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問題(1)の答案

問題(1)は実数a, b, cについて、次のような式①②が与えられている。

a + b + c = 1 …… ①

a2 + b2 + c2 = 13 …… ②

まず「ab + bc + ca」を求める。

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

①②より、

12 = 13 + 2(ab + bc + ca)

ab + bc + ca = (1 – 13)/2 = -12/2 = -6 [アイ]

次に、「(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2」を求める。

(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2

= 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca)

= 2 × 13 – 2 × (-6)

= 26 + 12

= 38 [ウエ]

(2)の答案

a – b = 2√5 の場合に、(a – b)(b – c)(c – a)を求める。

b – c = x, c – a = y とおくと、

x + y = (b – c) + (c – a) = b – a = -(a – b) = -2√5 [オカ]

(1)の計算結果より、(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 38 だから、

(2√5)2 + x2 + y2 = 38

x2 + y2 = 38 – (2√5)2 = 38 – 20 = 18 [キク]

a – b = 2√5, b – c = x, c – a = y だから、

(a – b)(b – c)(c – a) = 2√5xy

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy より、

18 = (-2√5)2 – 2xy

18 = 20 – 2xy

-2 = -2xy

xy = 1

よって、

(a – b)(b – c)(c – a) = 2√5xy = 2√5 × 1 = 2√5 [ケ]

2022年度の「数学Ⅰ・数学A」は難問?

今回(2022年度)の大学入学共通テストの「数学Ⅰ・数学A」は難しかったという声があるそうだ。

受験生の皆さま、試験おつかれさまでした。

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