1234567のような大きな数字を9で割った余り

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「1234567+2345671+3456712+4567123+5671234」を9で割った余りは?

という問題をYouTubeで見つけたので解いてみた。

参照日本一難しい中学の一番簡単な問題

2022年度の開成中学の入試問題とのこと。

もちろん、問題の5つの大きな数字を足して9で割ることはしない。

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答案

「1234567+2345671+3456712+4567123+5671234」を計算するのは面倒だ。

5つの数字を見ると、すべて1~7を1つずつ使った数字だ。

ここで数字を9で割った余りの法則を使う。

「ある数字を9で割った余りは、各桁の和を9で割った余りと同じ」という法則だ。

1234567の各桁の和は28で、9で割ると余りは1だ。

なので、1234567を9で割った余りも1となる。

他の4つの数字「2345671」「3456712」「4567123」「5671234」の各桁の和もすべて28だ(どれも1~7の和なので)。

よって、5つの数字を9で割った余りはすべて1だ。

以上より、「1234567+2345671+3456712+4567123+5671234」を9で割った余りは、

1+1+1+1+1=5

となる。

9で割った余りの求め方

1234567を9で割った余りが各桁の和「28」を9で割った余りと同じなのか。

1234567 = 1000000 + 200000 + 30000 + 4000 + 500 + 60 + 7

と分ける。

1000000 = 999999 + 1

200000 = 2 × (99999 + 1)

30000 = 3 × (9999 + 1)

4000 = 4 × (999 + 1)

500 = 5 × (99 + 1)

60 = 6 × (9 + 1)

となるので、それぞれ9で割った余りは、1, 2, 3, 4, 5, 6だ。

7は9で割った余りは7だ。

よって、1234567を9で割った余りは、各桁の和「1+2+3+4+5+6+7=28」を9で割った余りになるから1となる。

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