「1234567+2345671+3456712+4567123+5671234」を9で割った余りは？
という問題をYouTubeで見つけたので解いてみた。
2022年度の開成中学の入試問題とのこと。
もちろん、問題の5つの大きな数字を足して9で割ることはしない。
答案
「1234567+2345671+3456712+4567123+5671234」を計算するのは面倒だ。
5つの数字を見ると、すべて1～7を1つずつ使った数字だ。
ここで数字を9で割った余りの法則を使う。
「ある数字を9で割った余りは、各桁の和を9で割った余りと同じ」という法則だ。
1234567の各桁の和は28で、9で割ると余りは1だ。
なので、1234567を9で割った余りも1となる。
他の4つの数字「2345671」「3456712」「4567123」「5671234」の各桁の和もすべて28だ（どれも1～7の和なので）。
よって、5つの数字を9で割った余りはすべて1だ。
以上より、「1234567+2345671+3456712+4567123+5671234」を9で割った余りは、
1+1+1+1+1=5
となる。
9で割った余りの求め方
1234567を9で割った余りが各桁の和「28」を9で割った余りと同じなのか。
1234567 = 1000000 + 200000 + 30000 + 4000 + 500 + 60 + 7
と分ける。
1000000 = 999999 + 1
200000 = 2 × (99999 + 1)
30000 = 3 × (9999 + 1)
4000 = 4 × (999 + 1)
500 = 5 × (99 + 1)
60 = 6 × (9 + 1)
となるので、それぞれ9で割った余りは、1, 2, 3, 4, 5, 6だ。
7は9で割った余りは7だ。
よって、1234567を9で割った余りは、各桁の和「1+2+3+4+5+6+7=28」を9で割った余りになるから1となる。
