年利2%で32年運用するのと5%で16年運用ではどちらが大きい？

「貯金を100万円持っているAとBがいたとする。Aは年利2%で32年運用した。Bは年利5%で16年運用した。運用後の貯金が大きいのはどっち？（運用は複利とする）」

という問題を作ってみた。

中学数学の知識があれば解ける。

電卓なしで解いてみてほしい。

解説

A、Bの運用後の貯金はそれぞれ、

100 万円 × (1 + 0.02)³² = 100 万円 × 1.02³²　……①

100 万円 × (1 + 0.05)¹⁶ = 100 万円 × 1.05¹⁶　……②

だ。

上記①②の式を大小比較すればいい。

「100万円」は共通なので、1.02³²と1.05¹⁶の大小を比較する。

複利の大小比較

1.02³²や1.05¹⁶を電卓なしで計算するのは無理だ。

が、大小比較はできる。

まず、両者の指数部分を共通化する。

1.02³²=(1.02²)¹⁶

(1.02²)¹⁶と1.05¹⁶を比べる。

「1.02²」と「1.05」の大小を比較すると、

1.02² = 1.0404 < 1.05　なので、年5%で16年運用した方が大きい。

検算

100 万円 × (1 + 0.02)³² = 100 万円 × 1.02³² = 1,884,540 円

100 万円 × (1 + 0.05)¹⁶ = 100 万円 × 1.05¹⁶ = 2,182,874 円

だから、 「5%で16年運用」した方が30万円ほど多くなる。

ちなみに「年2%で何年運用すれば5%で16年運用した結果と同じになるか？」という問題を解くと、求める運用年数をy（年）とすると、

100 万円 × 1.02^y = 2,182,874 円

1.02^y = 2182874/1000000

log1.02^y = log(2182874/1000000)

y・log1.02 = log(2182874/1000000)

y = log(2182874/1000000)/log1.02 = 39.42 年

となる（もちろん対数は電卓で計算した）。