年利2%で32年運用するのと5%で16年運用ではどちらが大きい?

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「貯金を100万円持っているAとBがいたとする。Aは年利2%で32年運用した。Bは年利5%で16年運用した。運用後の貯金が大きいのはどっち?(運用は複利とする)」

という問題を作ってみた。

中学数学の知識があれば解ける。

電卓なしで解いてみてほしい。

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解説

A、Bの運用後の貯金はそれぞれ、

100 万円 × (1 + 0.02)32 = 100 万円 × 1.0232 ……①

100 万円 × (1 + 0.05)16 = 100 万円 × 1.0516 ……②

だ。

上記①②の式を大小比較すればいい。

「100万円」は共通なので、1.0232と1.0516の大小を比較する。

複利の大小比較

1.0232や1.0516を電卓なしで計算するのは無理だ。

が、大小比較はできる。

まず、両者の指数部分を共通化する。

1.0232=(1.022)16

(1.022)16と1.0516を比べる。

「1.022」と「1.05」の大小を比較すると、

1.022 = 1.0404 < 1.05 なので、年5%で16年運用した方が大きい

検算

100 万円 × (1 + 0.02)32 = 100 万円 × 1.0232 = 1,884,540 円

100 万円 × (1 + 0.05)16 = 100 万円 × 1.0516 = 2,182,874 円

だから、 「5%で16年運用」した方が30万円ほど多くなる。

ちなみに「年2%で何年運用すれば5%で16年運用した結果と同じになるか?」という問題を解くと、求める運用年数をy(年)とすると、

100 万円 × 1.02y = 2,182,874 円

1.02y = 2182874/1000000

log1.02y = log(2182874/1000000)

y・log1.02 = log(2182874/1000000)

y = log(2182874/1000000)/log1.02 = 39.42

となる(もちろん対数は電卓で計算した)。

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