twitterで見つけた数学の問題(四角形の面積)

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math

twitterで次のような数学の問題を見つけたので解いてみた。

四角形の面積を求める問題だ。

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答案

上記の四角形に次のような補助線を引いた(赤線)。

四角形の面積

すると、四角形の面積は2つの直角三角形の面積の和であることがわかる。

つまり、

四角形の面積 = (1/2)ab + (1/2)cd

赤い線は2つの直角三角形の斜辺だから、三平方の定理より、

a2 + b2 = c2 + d2

与えられた条件より、

(c + d)2 = c2 + d2 + 2cd = 102 = 100

(b – a)2 = a2 + b2 – 2ab = 4

となるから、

c2 + d2 = 100 – 2cd

a2 + b2 = 4 + 2ab

と変形する。

a2 + b2 = c2 + d2

だから、

4 + 2ab = 100 – 2cd

2ab + 2cd = 96

四角形の面積は?

四角形の面積 = (1/2)ab + (1/2)cd

だから、

(1/2)ab + (1/2)cd = (1/4)(2ab + 2cd) = 96/4 = 24

が答えとなる。

「四角形の面積が2つの直角三角形の面積の和」であることに気づけば解ける問題だ。

▼解説動画(YouTube)

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