49の奇数乗の下2桁は必ず49になる

「49の奇数乗の下2桁は必ず49になる」

という法則を最近知った。

49の3乗、5乗、7乗といった奇数上の下2桁は必ず「49」なのだ。

49³ = 117649

49⁵ = 282475249

49⁷ = 678223072849

9乗以降も本当に下2桁は49なのか、証明する。

証明

「49の奇数乗」を文字を使って表すと、

49²ⁿ⁺¹（n：0以上の整数）

となる。

49²ⁿ⁺¹

= 49²ⁿ × 49

= (49²)ⁿ × 49

= 2401ⁿ × 49

「ある数の下2桁」とは「ある数を100で割った余り」だ。

100で割った余り

2401を100で割った余りは1。

49を100で割った余りは49。

上記の式より、

49²ⁿ⁺¹ = 2401ⁿ × 49

「2401ⁿ × 49」を100で割ると余りは49となる。

よって、49の奇数乗の下2桁は49。

（証明終わり）

合同式

合同式で記述すると、

49²ⁿ⁺¹

= 2401ⁿ × 49

≡ 1ⁿ × 49

≡ 49 (mod 100)

おまけ：49の偶数乗の下2桁は01

上記の証明より、49の偶数乗の下2桁は「01」であることがわかる。

49の偶数乗は49²ⁿと表せる。

49²ⁿ = 2401ⁿ

2401ⁿを100で割った余りは1だ。

よって、49の偶数乗の下2桁は「01」。