【合同式】1963の1963乗を10で割った余り

YouTubeで次のような数学の入試問題を見つけたので解いてみた。

高校の入試問題だが、中学数学の範囲外の「合同式」を使って解いてみた。

答案

1963を10で割ると余りは3だから、合同式で表すと、

1963 ≡ 3 (mod 10)

両辺を2乗すると、

1963² ≡ 3² ≡ 9 ≡ -1 (mod 10)

（9を10で割った余りを「-1」と表現した）

1963¹⁹⁶³ = (1963²)⁹⁸¹ × 1963 ≡ (-1)⁹⁸¹ × 3 ≡ -3 (mod 10)

よって、1963¹⁹⁶³を10で割った余りは-3となる。

マイナスは答えにならない

解答を「-3」としてしまうと満点の正解にならない可能性がある。

高校の入試問題なので、余りを求める問題の答えは正の整数にしたほうが無難だ。

10で割って余りが-3となるのは7だ（7 = 10 + (-3)）。

よって、答えは7。