「11×12×13×14×15×16-17」を64で割った余り

9月なのに暑い日が続く。

こんなときはエアコンの効いた部屋で算数の問題を解くのが最適？

次の中学入試の問題を解いてみた。

P=11×12×13×14×15×16-17 であるPを64で割った余りを求める。

もちろん、「11×12×13×14×15×16-17」を計算して64で割るようなことはしない。

答案

わたしはまず、「11×12×13×14×15×16」の中に2が何個あるか数えた。

11×12×13×14×15×16

= 11×(2²×3)×13×(2×7)×15×(2⁴)

より、2は7個ある。

2⁷=64 × 2 なので、

P = 11×12×13×14×15×16 – 17

= 11×(2²×3)×13×(2×7)×15×(2⁴) – 17

= 64 × 2 × 11 × 13 × 15 – 17

= 64 × 2 × 11 × 13 × 15 – 64 + 64 – 17

= 64 × 2 × 11 × 13 × 15 – 64 + 47

よって、Pを64で割ると余りは47となる。