「17で割ると3余り、13で割ると7余る3桁の数で最大のものは？」
という灘中学の入試問題をYouTubeで見つけたので解いてみた。
わたしは「合同式」を使って解いてみた。
答案
求める数をNとする。
「17で割ると3余り、13で割ると7余る3桁の数N」を合同式で表すと、
N ≡ 3 (mod 17) …①
N ≡ 7 (mod 13) …②
17と13の最小公倍数は221なので、mod 221で考える。
①×13より、
13N ≡ 39 …③
②×17より、
17N ≡ 119 …④
③④をいろいろいじって「N ≡ 〇」という合同式を作りたい。
3桁の数を求める
④-③より、
4N ≡ 80 …⑤
⑤×3より、
12N ≡ 240 …⑥
③-⑥より、
N ≡ -201 ≡ -201 + 221 ≡ 20 (mod 221)
Nは221で割ると20余るので、
N = 221k + 20 (k:整数)
Nは3桁の数なので1000未満だから、
N = 221k + 20 < 1000
221k < 1000 - 20 = 980
k < 4.4...
よって、k=4のとき、3桁のうち最大の数になる。
N = 221 × 4 + 20 = 884 + 20 = 904
となる。
