「でたらめな」グループデートでカップルが成立する確率は高い

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qroup date 2 * 2

グループデートでカップルが成立する確率は、意外に高い。

ただし、、、。

数学の問題で暇つぶししようと『入試数学伝説の良問100―良い問題で良い解法を学ぶ』(安田 享(著), 講談社ブルーバックス, 2003)を読んだ。

本書でこんな入試問題が紹介されていた。

男性が2人, 女性が2人いる。各々は自分の異性をでたらめに1人指名する。互いに相手を指名すればカップルが成立するものとして, ちょうど1組カップルが成立する確率を求めよ。 (1984 追手門大)

※強調はブログ管理人による。

男女それぞれ2人ずつ、計4人がグループデートして、最後に「好きな相手」ではなく「でたらめ」、つまり相手をまったく評価せずにランダムに指名して、しかも「誰も指名しない」選択肢がないなんてこと、ありえない(笑)。

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1組だけカップル成立の確率を求める

上記の問題はありえないシチュエーションだが、問題を解いてみる。

求めるのは「ちょうど1組カップルが成立する確率」だ。

男性2人(A、B)と女性2人(P、Q)が異性を指名するとき、考えられる選択をすべて挙げる(AがPを指名するとき、「A → P」と記述することにする)。

A → P

A → Q

B → P

B → Q

P → A

P → B

Q → A

Q → B

以上の選択の組み合わせは、4人がそれぞれ選択肢を2つもっているから、

2 × 2 × 2 × 2 = 16 (通り)

カップルが2組成立する確率

ここで、カップルが2組成立する場合を考える。

指名した相手がすべて一致するケースは、

(A → P, B → Q, P → A, Q → B)

(A → Q, B → P, P → B, Q → A)

の2通り。

2 pairs

なので、カップルが2組成立する確率は、

2/16 = 1/8 ……①

カップルが成立しない確率

次に、カップルがまったく成立しない確率を考える。

指名した相手がまったく一致しないケースは、

(A → P, B → Q, P → B, Q → A)

(A → Q, B → P, P → A, Q → B)

の2通り。

no pair

よって、カップルがまったく成立しない確率は、

2/16 = 1/8 ……②

カップルが1組成立する確率

カップルが1組だけ成立する確率は、「すべてが発生しうる確率(つまり1)」から、「カップルが2組成立する確率(①)」と「カップルがまったく成立しない確率(②)」を引けばいいから、

1 – 1/8 – 1/8 = 1 – 2/8 = 6/8 = 3/4 = 75 %

となる。

「ちょうどカップルが1組成立する確率」は75%なので、けっこう高確率?

2組成立する確率を加えると、カップルが1組以上(少なくとも1組)成立する確率は、

1/8 + 3/4 = 7/8 = 87.5 %

となり、9割近い確率でカップルが成立する。

ただし、相手をランダムに選び、しかも「該当者なし」という選択肢が与えられないという、ありえないシチュエーションでの話だが(笑)。

上記はあくまでもわたしの解答案なので、正答例は本書p. 104を参照してください。

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