「娘から聞かれてわからなかった数学の問題」を解く

twitterで次のような数学の問題を見つけた。

場合の数、組み分け問題。娘から聞かれるが…わからん！😓ああ、ここは苦手💦 pic.twitter.com/AazXs0Xmmy

— ゆーすけ🎸 (@mercy69nroll) October 15, 2020

娘さんから聞かれたがわからなかったようだ（高校の数I・Aの問題か）。

問題を読んでみる。

1, 2, 3, …, n (n≧3)を1つず記入したn枚のカードがある. これらをA, B, Cの3つの箱に分けて入れる.
(1)空の箱があってもよいものとすると, 分け方は何通りあるか.
(2)どれか1つの箱だけが空になる分け方は何通りあるか.
(3)空の箱があってはならないとすると, 分け方は何通りあるか.

n枚のカードを3つの箱(A、B、C)に分けて入れる問題だ。

例えば、カードが6枚（n=6）とすると、Aに3枚、Bに2枚、Cに1枚入れる、みたいなかんじ。

(1)(2)の答案

(1)空の箱があってもいい場合、分け方は何通りあるか？

カード1枚につき、「Aに入れる」「Bに入れる」「Cに入れる」の3通りある。

カードはn枚あるので、分け方は3をn回掛けることになるので、3ⁿ 通りある。

(2)どれか1つ空箱がある場合の分け方。

A、B、Cのどれか1つが空箱で、残り2つの箱にカードを分けて入れることになる。

「どれか1つ空箱」はA、B、Cの3 通りある。

残りの2箱にn枚のカードを入れる分け方は、(1)のように「空箱OK」なら2ⁿ 通りある。

2ⁿから「残りの2箱のうち、どれか1箱が空箱であるケース」を除外しなければならない。

「残り2箱のうち1箱が空箱のケース」は2 通りある。

例えば、「Aだけを空箱にする」と決めた場合、「Bが空箱」「Cが空箱」の2通りは除外する。

よって、どれか1つ空箱がある場合の分け方は、

3(2ⁿ – 2) 通り。

(3)の答案

最後の(3)は「空箱なし」の場合の分け方だ。

(1)で「空箱OK」の分け方を求めた。

(2)で「どれか1つ空箱」の分け方を出した。

「空箱なし」の分け方は、

空箱なし = 空箱OK – どれか1つ空箱 – どれか2つ空箱 = (1)の答え – (2)の答え – どれか2つ空箱

となる。

「どれか2つ空箱」は、「すべてのカードがAに入っている」「すべてのカードがBに入っている」「すべてのカードがCに入っている」の3 通りだ。

よって、空箱なしの分け方は、

3ⁿ – 3(2ⁿ – 2) – 3

= 3ⁿ – 3×2ⁿ + 3 通り

となる。

応用問題

本問ではカードに1, 2, 3, … , n と記入してあったので「区別」があった。

カードに数字が書いてなかったらどうなるか？

区別のない白地のカードn枚(n≧3)を3つの箱(A, B, C)に分けるとすると分け方は何通りあるか、空箱はOKとする。

白地のカードを□で表してn枚並べてみる。

□　□　□　□　□　□　□　□　□　□　□　…　□　

カードの列に次のように仕切りを2つ入れると、3つに分けたことになる（左から箱A, B, Cとする）。

□　□　□　□　｜　□　□　□　□　□　｜　□　□　…　□　

もし、「空箱OK」なら、次のように左端・右端にも仕切りが置けるし、仕切りを2本連続して置くこともできる。

｜□　□　□　□　□　□　□　□　□　｜　□　□　…　□　　→ Aの箱が空

□　□　□　□　□　□　｜｜　□　□　□　□　□　…　□　　→ Bの箱が空

□　□　□　□　□　□　｜　□　□　□　□　□　…　□　｜　→ Cの箱が空

｜｜□　□　□　□　□　□　□　□　□　□　□　…　□　　→ AとBの箱が空　

などなど。

「区別のない白地のカードn枚を3つの箱(A, B, C)に分ける」とは、「仕切りが置けるn+2箇所から2箇所を選ぶ」ことになるので、

_n+2C₂ = (n + 2)(n + 1)/2 通りとなる。