【あいこの確率】そういえば、大人になってから「じゃんけん」したことないな

『もう一度解いてみる 入試数学』（鈴木 伸介（著）, すばる舎, 2019）という大学の入試問題集にある問題を解いてみた。

問題は、

4人でじゃんけんを2回するとき、2回ともあいこになる確率を求めよ。

という2011年の信州大学の入試問題だ。

この問題を読んでふと、

「そういえば、大人になってから”じゃんけん”をしなくなったな」

と思った。

じゃんけんをする必要性がないから。

あいこになる確率

わたしはいきなり「あいこになる確率」を求めず、まず「勝負がつく確率」を求めた。

「4人で1回じゃんけんをして勝負がつく確率」をpとすると、あいこになる確率は1-pだ。

問題にある「2回じゃんけんをして2回ともあいこになる確率」は、あいこが2回連続で続くので　(1-p)×(1-p)　だ。

というわけで、まずは4人で1回じゃんけんをして勝負がつく確率を求める。

なお、問題文には書いてないが3つの手（グー、チョキ、パー）が出る確率はそれぞれ同じで「1/3」だ。

勝負がつく確率

「4人で1回じゃんけんをして勝負がつく」とは、

「4人の手が2種類」

という結果になったときだ。

例えば「グー、パー、パー、パー」のように「グー」「パー」2種類になったときだ。

言い換えると「誰もチョキを出さなかったとき」だ。

誰もチョキを出していないので、4人は「グー」「パー」の2組に分かれる。

1人につき「グー」「パー」の2種類選択できるから、4人の「グー」「パー」の出し方は、2を人数分の4回掛けて、

2⁴ = 16 通りある。

ここで注意すべきはこの16通りの中に「4人ともグー」「4人ともパー」の2通りが含まれる。

この2つは「あいこ」になるので除く。

よって、4人が誰も「チョキ」を出さなかったときの「グー」「パー」の出し方は、

16 – 2 = 14 通り

となる。

チョキの他にも「誰もグーを出さなかったとき」「誰もパーを出さなかったとき」もそれぞれ出し方は14通りずつある。

よって、4人で1回じゃんけんをしたとき勝負がつくのは、

14 × 3 = 42 通り

ある。

4人の手の出し方は、4人がそれぞれ「グー」「チョキ」「パー」の3つ選択できるので、

3⁴ = 81 通り。

よって、「4人でじゃんけんをして1回で勝負がつく確率”p”」は、

p = 42/81 = 14/27

2回ともあいこになる確率

4人で1回じゃんけんをしてあいこになる確率は「1-p」だから、

1 – p = 1 – 14/27 = 13/27

2回ともあいこになる確率は、

(1-p)×(1-p) = (13/27) × (13/27) = 169/729

となる。

別解の正答例は本書pp. 173 – 175 を参照してほしい。

信州大学の思い出

信州大学で思い出した。

高校時代、スキー好きの同級生が、

「信州大学を受けるので、ついでに近くの長野のスキー場で滑ってくる」

と言っていた。

おい。

「滑ってくる」

って縁起悪いって。