2021年の灘中の入試問題(算数)と西暦の素因数分解

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math

算数・数学の入試対策として「西暦の素因数分解」を知っておくことは必須なんだな。

と、灘中の入試問題(算数)を解いてみて実感した。

「西暦の素因数分解」とは、例えば2021年なら、

2021 = 43 × 47

のように、西暦の数字を「素数の掛け算」に変形することだ。

入試問題では実施年(西暦)の数字を使った問題がよく出る。

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灘中の計算問題

2021年の灘中学の入試問題(算数)に、こんな計算問題があった。

$$9\frac{32}{221}\div \left( 1\frac{1}{17}-\frac{□}{13}\right) =\left( 12+19\times 11\right) \times \left( \frac{1}{13}+\frac{2}{17}\right)$$

参照2021年度中学入試 解答速報(算数)(能開センター「近畿中学受験」)

□に入る数字を求める。

中学以上の数学の知識があれば、「一次方程式」としてガリガリ計算していけば解ける。

が、本問は小学生が解くので算数の知識だけで解かないといけない。

それに、数式が複雑で、ふつうに計算していると時間がかかるし計算間違いの危険性が高い。

答案

まず、右辺をふつうに計算する。

$$9\frac{32}{221}\div \left( 1\frac{1}{17}-\frac{□}{13}\right) =221\times\left( \frac{1}{13}+\frac{2}{17}\right)$$

$$=221\times \frac{17+26}{221}$$

$$=43$$

左辺の帯分数を仮分数にする。

$$9\frac{32}{221}=\frac{9\times 221+32}{221}$$

$$=\frac{1989+32}{221}$$

$$=\frac{2021}{221}$$

よって、

$$\frac{2021}{221}\div \left( 1\frac{1}{17}-\frac{□}{13}\right) =43$$

ここで、「西暦の素因数分解」つまり、「2021 = 47 × 43」を使う。

$$1\frac{1}{17}-\frac{□}{13}=\frac{2021}{221}\times \frac{1}{43}$$

$$=\frac{47\times 43}{221}\times \frac{1}{43}$$

$$=\frac{47}{221}$$

$$\frac{18}{17}-\frac{□}{13}=\frac{47}{221}$$

左辺を通分する。

$$\frac{234-17\times □}{221}=\frac{47}{221}$$

両辺の分母は同じなので、両辺の分子どうしを見比べる。

$$234-17\times □=47$$

234 から 17 × □ を引けば 47 となるから、

$$17\times □=234-47=187=17\times 11$$

よって、「□ = 11」。

※この問題の解法を限られた時間内で気づき、かつ正答するってかなり難しそう……さすが灘中受験生。

2022年以降の素因数分解

2022年度の入試対策としては、「2022の素因数分解」を知っておいた方がいいだろう。

2022 = 2 × 3 × 337

だ。

2023年~2025年の素因数分解も付け加えておく。

2023 = 7 × 17 × 17

2024 = 2 × 2 × 2 × 11 × 23

2025 = 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = 452

参照数之帝国(数学ツール)

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