「大きな数字が3で割り切れるか、つまり3の倍数か瞬時にわかる方法」
を『数学ガールの秘密ノート 整数で遊ぼう』（結城 浩（著）,SBクリエイティブ, 2013）を読んで知った。
記事タイトルのような「6192357」は3で割り切れるか（3の倍数か）をどうやって判定すればいいか。
3の倍数判定法
ある数字が3の倍数かどうかは「各桁の数字の和が3の倍数か」を調べればいい。
6192357の場合、
6 + 1 + 9 + 2 + 3 + 5 + 7 = 33
だ。
33は3で割り切れるので、6192357も3で割り切れる、つまり3の倍数だ。
もっと簡単に判定する方法
大きな数字の各桁を足すのは面倒だ。
「6 + 1 + 9 + 2 + 3 + 5 + 7 =」という面倒な計算しなくても3の倍数かどうか判定できる。
それは「各桁の3の倍数である数字を除外して足す」方法だ。
「6 + 1 + 9 + 2 + 3 + 5 + 7 =」を計算するのではなく、3の倍数を除外して計算する。
つまり、
1 + 2 + 5 + 7 = 15
15は3の倍数なので、6192357も3の倍数だ。
なぜ各桁の数を足すか
なぜ各桁の数字の和が3の倍数ならその数は3の倍数といえるのか？
3桁の数で考える。
3桁の数abcがあるとする。
abcは「100a + 10b + c」と表せる。
100a + 10b + c
= (99a + a) + (9b + b) + c
= (99a + 9b) + (a + b + c)
(99a + 9b)は3(33a + 3b)と変形できるから3の倍数であることがわかる。
よって、 (a + b + c)が3の倍数ならばabcは3の倍数だ。
例えば、a, b, cのうちaが3の倍数だとすると、
「99a + 9b + a」は3の倍数なので、「b + c」が3の倍数であればabcは3の倍数だ。
なので、3の倍数かどうか判定するときaは除外して「b + c」を計算すればいい。
