【合同式】21^2015を400で割った余り

YouTubeで次のような数学の問題を見つけた。

「21²⁰¹⁵を400で割ったときの余りを求めよ。」という2015年度の茨城大学の入試問題だ。

動画では二項定理を使って解いていたが、わたしは合同式で解いてみた。

問題を解くための準備

とりあえず、21²を400で割った余りを求めてみた。

21² = 441 ≡ 41 (mod 400)

「441 ≡ 41 (mod 400)」が合同式で、「441と41は400で割った余りが同じ」という意味だ。

次に4乗・8乗・10乗・20乗の400で割った余りを求めてみる。

21⁴ = 21² × 21² ≡ 41 × 41 = 1681 ≡ 81

21⁸ ≡ 81² = 6561 ≡ 161

21¹⁰ = 21⁸ × 21² ≡ 161 × 41 = 6601 ≡ 201

21²⁰ ≡ 201² = (200 + 1)² = 200² + 400 + 1 ≡ 1

これだけ「材料」がそろえば、問題が解ける。

答案

21²⁰¹⁵

= 21²⁰⁰⁰ × 21¹⁵　

= (21²⁰)¹⁰⁰ × 21¹⁵

= (21²⁰)¹⁰⁰ × 21¹⁰ × 21⁴ × 21

≡ 1 × 201 × 81 × 21

= (200 + 1)(80 + 1)(20 + 1)

= (200 + 1)(1600 + 101)

≡ (200 + 1)(100 + 1)

= 200 × 100 + 301

≡ 301

よって、余りは301。

合同式については次の記事を参照してほしい。

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