【中学入試】2種類の数字でつくられる4桁の整数は何個あるか？

次のような私立中学の入試問題（算数）を解いてみた。

（問題）
2022のように2種類の数字でつくられる4桁の整数は, 2022も含めて[ ]個あります。（2022 栄東中）

4桁の数字（1000, 1001, 1002, …… , 9998, 9999）のうち、2種類の数字でできている整数を求めればいい。

少し面倒だが、地道に数えていけば解ける。

「0」と「1～9」でつくられる整数

まず、「0,1」の2種類でつくられる4桁の数字を数えてみる。

1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110

の7個だ。

「0, 2」「0, 3」……「0, 9」でつくられる4桁の整数もそれぞれ7個ずつある。

よって、「0」と「1～9」の2種類でできている4桁の整数は、

7 × 9 = 63 個

となる。

「0」以外でつくられる整数

次に、「0以外」の2種類の数字でつくられる4桁の数字を数える。

「1, 2」の2種類でつくれる整数を数えると、

1112, 1121, 1122, 1211, 1212, 1221, 1222, 2111, 2112, 2121, 2122, 2211, 2212, 2221

の14 個だ。

数えるのが面倒なら次のように計算できる。

「1, 2」でつくれる4桁の数字の各桁は1か2のどれかだから、2⁴ = 16 個ある。

ただし、数字が1種類しかない1111, 2222は除くから 16 – 2 = 14 個。

0以外の2種類の数字の組み合わせは、1～9の9種類から2種類を選ぶので、36 通りある。

「1」と「2～9」の組み合わせは8通り、

「2」と「3～9」の組み合わせは7通り、

という具合に数えていくと全部で36通りあることがわかる。

よって、0以外の2種類の数字でできている4桁の数字は、

14 × 36 = 504 個

解答

以上より、2種類の数字でつくられる4桁の整数は、

0と1～9でつくられる整数は63個、

0以外でつくられる整数は504個なので、

63 + 504 = 567 個

が答えだ。