√390625みたいな大きな数の平方根を電卓なしで計算

海外のYouTube動画で「√390625」のような大きな数の平方根を手計算する方法が紹介されていた。

YouTubeShortest fastest method to find Square root of a large number | Short cut – division method – HARD

ただし、390625は平方数（同じ整数を2回かけてできる数）とする。

電卓で計算すると、

$$\sqrt{390625}=625$$

と簡単に求まるが、この計算を「電卓なし」で筆算する。

大きな数の平方根を計算する方法

①次のように数字を1の位から2個ずつ「39」「06」「25」とグループ分けして左と上に線を引く。

②先頭のグループの「39」以下で39に近い平方数の平方根を求める。39の場合36(=6²)なので、次のように「6」を記入する。次に39の下に36と記入して差の「3」を記入する。

③次のグループ「06」を3の横に記入する。

④左の「6」の下に同じ数の「6」を記入して足して「12」と記入する。

もう少しで計算結果が出る

⑤「306 ≧ 12□ × □」となる数で306に近いのを見つける。□=2とすると「122 × 2 = 244」、□=3とすると「123 × 3 = 369(>306)」なので「□=2」となり、次のように「2」と記入する。

⑥「306」から「244 =(122 × 2)」を引いて「62」と記入する。

⑦左の「122」の下1桁と同じ数字「2」を下に記入して足し算をして「124 =(122 + 2)」と記入する。3つめのグループ「25」を下におろしてくる。

最終結果

⑧「6225 ≧ 124□ × □」となる数で6225に近いのを見つける。□=5とすると「1245 × 5 = 6225」というジャストな数字が見つかった。よって6225から6225(= 1245 × 5)を引いて差はゼロとなり、計算終了。

以上から、答えは「625」となる。

筆算の解説

上記の筆算は何をやっているのか？

まず、390625 = 6□□²と推測する。

600²=360000で390625に近いからだ（700² は490000(> 390625)なので不適）。

次に、6□□の十の位を推測する。

x=10, 20, 30 …… 90のどれかが答えに近いとすると、

(600 + x)(600 + x) ≦ 390625

を満たすxを求める。

360000 + 1200x + x² ≦ 390625

(1200 + x)x ≦ 30625

x = 20のとき、(1200 + 20)× 20 = 24400 ≦ 30625

x = 30のとき、(1200 + 30)× 30 = 36900 > 30625

よって、x=20が最適なので、

390625 = 62□²と推測できる。

620²=384400なのでさらに390625に近づいてきた。

答えの一の位をyとすると、

(620 + y)(620 + y) = 390625

620² + 1240y + y² = 390625

1240y + y² = 6225

y(1240 + y) = 6225 = 5 × (1240 +5)

よって、y = 5となるので「625」が答え。

といった計算を筆算でやっている。

【2021.4.17追記】求めている答が「62□」まで絞れたら、「答えは2乗すると一の位が5になる数」だから「625」と求めてもいい。

上記の筆算は日本ではあまり知られていない方法みたいだ（日本語の動画やサイトが見つからなかったので）。

まとめ

電卓はすごい。