分数を分解して遊ぶセミリタイア生活

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分数

先日読んだブルーバックスの算数本『解ければ天才! 算数100の難問・奇問』(中村 義作(著), 講談社, 1988)の中に、

$$9 ÷ 10 = \frac{1}{□}+\frac{1}{□}+\frac{1}{□}$$

という問題があった。

筑波大学附属駒場中の入試問題だ(ちなみに偏差値は78(首都圏模試センター))。

9 ÷ 10、つまり9/10を3つの分数に分解する問題だ。

なお、3つの□に入る数字(正の整数)はすべて異なる。

国立中学の入試問題なので、小学生向けだ。

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答案

まず、最も左にある最初の1/□を考える。

9/10より小さい1/□で最大の分数を求める。

9/10 = 0.9 なので、0.9を超えない最大の1/□は1/2(=0.5)だ。

とりあえず、9/10 から 1/2 を引いてみる。

9/10 – 1/2 = 18/20 – 10/20 = 8/20 = 2/5

次に、2/5を超えない最大の1/□を考える。

2/5 = 0.4 なので0.4を超えない最大の1/□は1/3だ。

3つの分数に分解できるか

3つの分数のうち2つ(1/2, 1/3)を求めることができた。

あとひとつ。

2/5 から 1/3 を引くと、

2/5 – 1/3 = 6/15 – 5/15 = 1/15

3つめの分数は1/15と求まった。

以上より、9/10は1/2, 1/3, 1/15に分解できるので、

$$9 ÷ 10 = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15}$$

正答例と詳しい解説は本書を参照してください。

<参考文献>
やじうま入試数学 問題に秘められた味わいのツボ(金 重明(著), 講談社ブルーバックス, 2015) pp. 26 – 36 「第3問 古代エジプトの分数」

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