指数のある整数問題を適当に解いていたら偶然解けた

YouTubeで次のような整数問題を見つけた。

2^m – 2ⁿ = 2016

のとき、mとnを求める問題だ（m, nはともに自然数）。

この問題は共通項でくくって指数法則を使って解くのが「王道の解法」みたいだ。

が、適当に解いていたらたまたま偶然に答えが見つかった。

解き方がわからない

問題を見ていても解き方が思い浮かばない。

とりあえず、2ⁿを右辺に移項してみた。

2^m = 2016 + 2ⁿ

上記の式から、2^mは2016に2ⁿを足した数のようだ。

「2¹⁰ = 1024」だ。

よって、2¹¹ = 2 × 2¹⁰ = 2048 だ。

2048は2016に近い。

あっ。

偶然、答えが見つかる

「2048 = 2016 + 32 = 2016 + 2⁵」じゃないか。

ということは、

2¹¹ = 2048 = 2016 + 32 = 2016 + 2⁵

これで解けた。

m = 11, n= 5

が答えだ。

正しい解法と解説は上記の動画を参照してください。