先日、ネットで次のような中学入試の問題を見つけた。
11で割ると７余り，31で割ると11余る整数の中で，1950にもっとも近い整数はいくつになりますか。
豊島岡女子学園中学（2019年）
豊島岡女子学園中学（偏差値76）という難関私立中学の入試問題だ。
わたしは「合同式」を使って解いてみた。
答案
求める整数をxとして「11で割ると７余り，31で割ると11余る」を合同式で表すと、
x ≡ 7 (mod 11) ……①
x ≡ 11 (mod 31) ……②
割る数を11と31の最小公倍数である341でそろえると、
31x ≡ 217 (mod 341) ……③
11x ≡ 121 (mod 341) ……④
④×3
33x ≡ 363 ……⑤
⑤-③
2x ≡ 146 (mod 341)
合同式の性質より、
2x – 146 ≡ 0
2(x – 73) ≡ 0 (mod 341) ……⑥
2と341は互いに素（共通の約数が1だけ）だ。
なので「2(x -73)」が341で割り切れるには「x – 73」が341の倍数でないといけないから、
x – 73 ≡ 0
x ≡ 73 (mod 341)
よって、整数xは「341で割ると余りが73」であることがわかる。
1950に近い数
「341で割ると余りが73」である整数のうち、1950に近い数を求める。
1950を341で割ると約5.7なので、求める数は341に5か6をかけて73をたした数だ。
341に5をかけて73をたしてみると、
341 × 5 + 73 = 1778 → 1950との差は172
341に6をかけて73をたしてみると、
341 × 6 + 73 = 2119 → 1950との差は169
2119の方がわずかに1950に近いから、
求める答えは2119。
