1と0は等しい?

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「議論の対象が食い違っていると結論がおかしくなる例」というのが放送大学の数学の授業で紹介されていた。

数学が得意な人は一瞬で見破ることができると思うが、わたしは解説をしてもらわないとわからなかった。

例題は、「1と0は等しいことを証明する」。

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1=0であることの証明?


x2+1=0   (1)

(1)の両辺に2xを加えると、

x2+2x+1=2x

(x+1)2=2x

(x+1)2≧0だから、2x≧0、

ゆえに、x≧0   (2)

(1)の両辺から2xを引くと、

x2-2x+1=-2x

(x-1)2=-2x

(x-1)2≧0だから、-2x≧0

ゆえに、x≦0   (3)

(2)と(3)より、x=0

これを(1)に代入すると、1=0

間違っている議論


「(x+1)2≧0および(x-1)2≧0」が間違い

→2乗して正数または0になるのは実数の場合だけである。

x2+1=0をみたすxは複素数(2乗して-1となる数)であり、(1)をみたす実数は存在しない。

複素数の議論をしていたのに、いつの間にか実数の議論になってしまった。

xは複素数なのに、「xは実数」という前提で議論を進めたから、結論がおかしくなった。

<参考>
放送大学「微分と積分 第2回」

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