AI時代に7進数を10進数に変換するセミリタイア生活

AI全盛の時代、これからは「整数の知識」がますます必要となるだろう。

というわけで、7進数の数を10進数に変換する整数問題を見つけたのでやってみた。

問題は次のとおり。

7進法で表わすと3けたとなる正の整数がある.　これを11進法で表わすと,　やはり3けたで, 数字の順序がもととちょうど反対となる.　このような整数を10進法で表わせ. [’68 神戸大]

出典大学入試数学の問題「n進法」

1968年（昭和43年）のちょっと昔の神戸大学の入試問題だ。

答案

7進数で表すと3桁となるの正の整数をabcとすると、これを11進数で表すとcbaになるから、

a×7² + b×7¹ + c×7⁰ = c×11² + b×11¹ + a×11⁰

49a + 7b + c = 121c + 11b + a

48a – 4b – 120c = 0

12a – b – 30c = 0

b = 12a – 30c = 6(2a – 5c)

よって、bは6の倍数で、7進数だから0≦b≦6なので、bは0または6だ。

場合分け

(i)b=0の場合

6(2a – 5c) = 0

2a = 5c

よって、aは5の倍数で7進数だから0≦a≦6なので、a=5、c=2となるから、

(a, b, c)=(5, 0, 2)

(ii)b=6の場合

6(2a – 5c) = 6

2a – 5c = 1

この方程式を満たすa,　cを探すと、

(a, c)=(3, 1)

よって、

(a, b, c)=(3, 6, 1)

7進数→10進数

以上より、求める正の整数は「502」「361」となった。

が、これは7進数で表した数だ。

これらを10進数に変換すると、

502₍₇₎=5×7² + 0×7¹ + 2×7⁰ = 245 + 0 + 2 = 247

361₍₇₎=3×7² + 6×7¹ + 1×7⁰ = 147 + 42+ 7 = 196

となる。