大学入学共通テスト2021「数学Ⅰ・数学A」の確率の問題を解いた

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2021年度の大学入学共通テスト「数学Ⅰ・数学A」(第2日程)に確率の問題があったので解いてみた。

解いたのは第3問の(1)だ。

公式を一切使わずに泥臭く解いた。

問題は次のとおり。

二つの袋A, Bと一つの箱がある。Aの袋には赤球2個と白球1個が入っており, Bの袋には赤球3個と白球1個が入っている。また, 箱には何も入っていない。

(1) A, Bの袋から球をそれぞれ1個ずつ同時に取り出し, 球の色を調べずに箱に入れる。

(i)箱の中の2個の球のうち少なくとも1個が赤球である確率は[アイ/ウエ]である。

(ii) 箱の中をよくかき混ぜてから球を1球取り出すとき, 取り出した球が赤球である確率は[オカ/キク]であり, 取り出した球が赤球であったときに, それがBの袋に入っていたものである条件付き確率は[ケ/コサ]である。

出典2021年度 大学入学共通テスト速報 第2日程(1月30日・31日)(河合塾)

問題を解いて空欄ア~サに数字を入れる。

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すべてのパターンを数えあげる

2つの袋A、Bに入っている赤と白の球を区別するために、次のようにすべての球に番号(1~7)をつけた。

赤・白の球

袋Aと袋Bから1個ずつ取り出して箱に入れる。
球を袋から箱へ入れる

2つの袋A、Bから1個ずつ取り出して箱の中に入れる場合のすべてのパターンを数え上げて図示すると、次のように№1~№12まで12通りある。
箱の中の2球

この問題は、上図のようにすべてのパターンを数え上げることができたらすべて解ける。

問題(i)の「箱の中の2個の球のうち少なくとも1個が赤球である確率」は、上図の12通りのうち、赤が1個以上入っているのは№12以外の11通りだから、

$$\frac{アイ}{ウエ} = \frac{11}{12}$$

となる。

公式を使わず「数えるだけ」で解ける

問題(ii)の前半「箱の中をよくかき混ぜてから球を1球取り出すとき, 取り出した球が赤球である確率」を解く。

上図のパターン№1~12の球の合計24個のうち、赤は17個あるから、

$$\frac{オカ}{キク} = \frac{17}{24}$$

となる。

問題(ii)の後半「取り出した球が赤球であったときに, それがBの袋に入っていたものである条件付き確率」は、問題文にあるように「条件」がついた確率だ。

条件とは「取り出した球が赤球」なので、上図のパターンのすべての赤球17個のうち、Bの袋に入っていた赤球は9個だから確率は、

$$\frac{ケ}{コサ} = \frac{9}{17}$$

だ。

以上のように、確率の公式を使わず「箱の中にある球のパターン」をすべて数えるだけで問題を解いてみた。

公式を使って解いた場合の解説は次のサイトを参照してほしい。

参照共通テスト 数学I・数学A 2021年度追試 第3問 解説(なかけんの数学ノート)

後記

第3問は(1)(2)の2問あるが、今回は(1)しか解かなかった。

(1)を解いた時点で疲れたため、(2)を解く気力がなくなったからだ。

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