90年前の受験事情 超難関だった旧海軍志願兵・諸学校の入試問題（2021.2.28 現代ビジネス）
という記事に、帝国海軍の学校の入試問題が掲載されていた。
海軍のエリートとして生き残るには超難関の試験を突破して出世競争を勝ち上がらなければならなかった。
上記記事に掲載されていた入試問題のうち、海軍士官（つまり軍のキャリア官僚）の登竜門「海軍兵学校」の数学の入試問題を解いてみた。
現代の高校数学程度の問題だ。
海軍兵学校の数学の入試問題
問題は旧字体とカタカナで読みにくいので、次のように書き換えた。
試行錯誤しながら解く
$$3x+\frac{mn}{x+m}+3n=0$$
を次のように変形する（両辺に(x+m)をかける）。
$$3x^{2}+3\left( m+n\right) x+4mn=0$$
この2次方程式の解がa, bだから、解と係数の関係より、
$$a+b=-\frac{3\left( m+n\right) }{3}=-\left( m+n\right) …①$$
$$ab=\frac{4mn}{3} …②$$
となる。
参照二次方程式における解と係数の関係（高校数学の美しい物語）
もうちょっとで解ける
$$\frac{b}{a+1}+\frac{a}{b+1}=1$$
より、
$$b\left( b+1\right) +a\left( a+1\right) =\left( a+1\right) \left( b+1\right)$$
$$b^{2}+b+a^{2}+a=\left( a+1\right) \left( b+1\right)$$
$$a^{2}+b^{2}+a+b=\left( a+1\right) \left( b+1\right)$$
$$a^{2}+b^{2}+a+b=ab+a+b+1$$
$$a^{2}+b^{2}-ab=1$$
$$a^{2}+2ab+b^{2}-3ab=1$$
$$\left( a+b\right) ^{2}-3ab=1 …③$$
①、②を③に代入する。
$$\left\{ -\left( m+n\right) \right\} ^{2}-3\cdot \frac{4mn}{3}=1$$
$$\left( m+n\right) ^{2}-4mn=1$$
$$m^{2}+2mn+n^{2}-4mn=1$$
$$m^{2}-2mn+n^{2}=1$$
$$\left( m-n\right) ^{2}=1$$
よって、
$$m-n=\pm 1$$
となることが証明されたであります！
Q.E.D
＜参考文献＞
『新体系 高校数学の教科書 上』（芳沢 光雄（著）, 講談社ブルーバックス, 2010） p. 60
国立国会図書館デジタルコレクション『海軍諸学校入学試験問題及模範解答集』（帝国軍事協会（編）, 帝国教育会出版部, 昭和8(1933)）
