YouTubeで「血液型ガチャ」の数学の入試問題が紹介されていた。
参照血液型ガチャ 愛知医科大学
AB型の割合が10%だとすると、何人いればその中にAB型の人が少なくとも1人いる確率が99%以上となるか？
という問題だ。
実際の問題文は次のとおり。
ある集団において血液型がAB型である人の割合を10%とする。ある研究のためにこの集団から集める被験者の中に、99%以上の確率でAB型の人を少なくとも1名含むようにするためには、少なくとも何名以上を集める必要があるか。log103=0.477として求めよ。
（2020 愛知医科大学）
出典松濤舎HP
単純に考えると、「AB型の割合は10%なんだから、10人いればその中の1人はAB型のはず」と思える。
答案
わたしは次のように解いた。
x人以上集める必要上があるとすると、AB型以外の割合が90%（= 0.9）だからAB型が少なくとも1人以上ある確率が99%以上となるには、
1 – 0.9x ≧ 0.99
となればいい（「x人すべてがAB型以外となる確率」= 0.9x なので、「1 – 0.9x」は「X人のうちAB型が少なくとも1人いる確率」だ）。
– 0.9x ≧ 0.99 – 1
– 0.9x ≧ -0.01
(9/10)x ≧ 0.01
log(9/10)x ≧ log(1/100) = log10-2 = – 2log10 = – 2
x(log32 – log10) ≧ – 2
x(2log3 – log10) ≧ – 2
参照対数の基本的な性質とその証明（高校数学の美しい物語）
log103=0.477 と与えられているので、
x(2 × 0.477 – 1) ≧ – 2
x ≧ – 2 / (2 × 0.477 – 1) = 43.4782608696
よって44人以上集めれば、その中にAB型が1人以上いる確率が99%以上となる。
以上はわたしの答案なので、正答例は上記動画を参照してほしい。
実は、前に更新した次の記事で似たような問題を解いていた。
ガチャの当選確率は意外に小さい
AB型の割合は10%なので、10人集めればその中に1人はAB型がいるだろう。
と思いきや、44人集めないとけない。
つまり、この問題は当選率10%のくじがあったとしても「10回引けば1回は当たるだろう」という甘い期待を抱いてはならないという教訓だ。
実際は44回引いてやっと1回あたる確率が99%以上となる。
＜参考文献＞
