「4人でプレゼント交換したとき、全員が自分で用意したプレゼントを受け取らない確率は？」
という高校入試の問題（2024年 沖縄県）があったので解いてみた。
参照2024年全国公立高校入試解答速報（東進）
A, B, C, Dの4人が用意したプレゼントを、外見が同じ4つの箱に入れてまぜまぜして4人が受け取るので、自分が用意したプレゼントを受け取ってしまう可能性がある。
答案
問題文で、A, B, C, Dが用意したプレゼントをそれぞれa, b, c, dと定義していた。
4人全員が自分が用意したプレゼントを受け取らない（4人とも他人が用意したプレゼントを受け取る）パターンを書き出してみる。
上図のとおり9パターンある。
「4人のプレゼント交換」のプレゼントの受け取り方は「4!」通りあるので24通り。
よって、求める確率は、
9/24 = 3/8
全員が他人が用意したプレゼントをもらえる確率は37.5%と少ない。
62.5%の確率で「4人のうち誰かが自分の用意したプレゼントを受け取る」という結果になる。
補足
「4人のプレゼント交換」のプレゼントの受け取り方がなぜ24通りなのか、説明する。
4つのプレゼントa, b, c, dを、A, B, C, Dの順に受け取っていくとする。
Aのプレゼントの受け取り方は、プレゼントa, b, c, dのどれかを受け取るので4通り。
Bは、Aが受け取ったプレゼント以外の残りの3つからもらうので3通り。
Cは、A, Bが受け取ったあとの2個から選ぶので2通り。
Dは、残った1つを受け取るので1通り。
よって、4人のプレゼントの受け取り方は、
4 × 3 × 2 × 1 = 4! = 24 通り。
